02_Matrix_Algebra

矩阵运算

从物理和数学的直觉上来讲，矩阵运算是为了能够快速进行批量的向量的计算。

$m \times n$ matrix M ，即表示m行，n列的矩阵

举例如下：

注意特殊的u和v，作为单行/单列的矩阵，即为一个向量。

符号表示上，矩阵下标首数字表示行，次数字表示列

运算与向量极为相似，设有

加法

常数乘法

减法

同样具有数学性质：

1. $\mathbf { A } + \mathbf { B } = \mathbf { B } + \mathbf { A }$
2. $( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) + \mathbf { C } = \mathbf { A } + ( \mathbf { B } + \mathbf { C } )$
3. $r ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) = r \mathbf { A } + r \mathbf { B }$
4. $( r + s ) \mathbf { A } = r \mathbf { A } + s \mathbf { A }$
5. $(\mathbf {A B}) \mathbf {C} = \mathbf {A} (\mathbf {B C})$

矩阵乘法

设A 为 $m \times n$的矩阵，B 为 $n \times p$ 的矩阵，则${A} \cdot {B}$ 结果为一个$m \times p$的矩阵，其中

特殊的： 当左边的矩阵行为1，如：

则有公式推导简化：

即：

泛化为：

矩阵转置

符号上，我们将${ \bf M } ^ { T }$，称作矩阵${ \bf M }$的转置。

具体表示如下：

以下是常用的转置特性：

1. $( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) ^ { T } = \mathbf { A } ^ { T } + \mathbf { B } ^ { T }$

2. $( c \mathbf { A } ) ^ { T } = c \mathbf { A } ^ { T }$

3. $( \mathbf { A } \mathbf { B } ) ^ { T } = \mathbf { B } ^ { T } \mathbf { A } ^ { T }$

4. $( \mathbf { A } ^ { T } ) ^ { T } = \mathbf { A }$

5. $( \mathbf { A } ^ { - 1 } ) ^ { T } = ( \mathbf { A } ^ { T } ) ^ { - 1 }$

单位矩阵

对于主对角线上全为1，其余为0的矩阵，我们称作单位矩阵，如下：

对于任意$m \times n$的矩阵$A$，以及$n \times p$的矩阵$B$，对于$n \times n$的单位$I$矩阵，特性如下

特殊的，当矩阵$U$为$n \times n$时，则有

矩阵子式(Matrix Minors)

定义有：给定$n \times n$的矩阵$A$，$\overline A _ {ij}$ 表示矩阵$A$去掉$i$行，$j$列后的子矩阵

表示如下： $A = \left[ \begin{array}{c c c} A _ {11} & A _ {12} & A _ {13} \\ A _ {21} & A _ {22} & A _ {23} \\ A _ {31} & A _ {32} & A _ {33} \end{array} \right]$ $\overline A _{11} = \left[ \begin{array}{c c} A _ {22} & A _ {23} \\ A _ {32} & A _ {33} \end{array} \right]$ $\overline A _{22} = \left[ \begin{array}{c c} A _ {11} & A _ {13} \\ A _ {31} & A _ {33} \end{array} \right]$ $\overline A _{13} = \left[ \begin{array}{c c} A _ {21} & A _ {22} \\ A _ {31} & A _ {32} \end{array} \right]$

矩阵行列式

符号上$det \space A$表示矩阵$A$的行列式，有时也写作$|A|$。

几何意义：它在现实/图形中代表什么？（最核心的一句）

“It can be shown that the determinant has a geometric interpretation related to volumes of boxes and that the determinant provides information on how volumes change under linear transformations.”

• 翻译：可以证明，行列式在几何上与“盒子的体积”有关；并且，它能告诉我们在进行“线性变换”时，体积会发生怎样的比例变化。

• 大白话理解：在做2D/3D空间变换时（比如你操作一个物体的 Transform 去做缩放、倾斜等动作），矩阵代表了这种变换的过程。

  • 在二维空间中（$2 \times 2$ 矩阵），行列式的值代表了变换后面积缩放的倍数。

  • 在三维空间中（$3 \times 3$ 矩阵），行列式的值就代表了变换后体积缩放的倍数。

实际应用：它能用来干嘛？

“In addition, determinants are used to solve systems of linear equations using Cramer’s Rule”

• 翻译：此外，利用克莱姆法则（Cramer’s Rule），行列式还可以用来求解线性方程组。

有计算如下：

二阶矩阵（$2 \times 2$）的计算流程

这是最简单的，只需要记住一个口诀：“主对角线乘积” 减去 “副对角线乘积”。

假设我们有一个 $2 \times 2$ 的方阵 $A$：

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

• 主对角线：从左上到右下的那条线（包含 $a$ 和 $d$）。

• 副对角线：从右上到左下的那条线（包含 $b$ 和 $c$）。

计算公式：

$\det A = ad - bc$

具体例子：

$\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$

2. 三阶矩阵（$3 \times 3$）的计算流程

假设我们有一个 $3 \times 3$ 的矩阵：

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

计算三阶行列式主要有两种常见方法：

方法一：对角线法则（沙路法则 Sarrus Rule）

这个方法非常直观，但只能用于 $3 \times 3$ 矩阵。

1. 平移列：把矩阵的前两列（$a, d, g$ 和 $b, e, h$）原封不动地抄写在矩阵的右边。

2. 主对角线相加：画出三条从左上到右下的对角线，把线上的三个数字相乘，然后将这三组结果相加。$(aei + bfg + cdh)$

3. 副对角线相减：画出三条从右上到左下的对角线，把线上的三个数字相乘，然后将这三组结果从刚才的总和中减去。$(ceg + afh + bdi)$

完整公式：

$\det A = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi)$

方法二：按行/列展开（代数余子式展开）

这个方法的核心是**“降维打击”**：把一个大的 $3 \times 3$ 矩阵拆成三个小的 $2 \times 2$ 矩阵来算。这个思路极其重要，因为所有更高阶的矩阵计算都是基于这个套路。

1. 挑选一行（或一列）：通常为了方便，我们挑第一行，也就是元素 $a, b, c$。

2. 处理第一个元素 $a$：划掉 $a$ 所在的行和列，你会发现剩下了四个数字组成的 $2 \times 2$ 小矩阵 $\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix}$。计算这个小矩阵的行列式，然后乘上 $a$。

3. 处理第二个元素 $b$：同样划掉 $b$ 所在的行和列，剩下 $\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix}$。计算它的小行列式乘上 $b$。注意：展开时符号是正负交替的（$+ - +$），所以这里前面要写减号。

4. 处理第三个元素 $c$：划掉 $c$ 所在的行和列，剩下 $\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}$。乘上 $c$，前面写加号。

完整公式：

$\det A = a \cdot \det \begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} - b \cdot \det \begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c \cdot \det \begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}$

拆解完之后，那三个 $2 \times 2$ 的小矩阵，直接套用第一部分里讲的 $(ad - bc)$ 公式计算就可以了。

3. 更高阶矩阵（$4 \times 4$ 及以上）

如果是 $4 \times 4$ 甚至更大的矩阵，几乎很少有人纯手算，因为计算量会呈指数级增长：

• 理论上，你可以继续用方法二（展开法），把 $4 \times 4$ 拆成四个 $3 \times 3$，再把每个 $3 \times 3$ 拆成 $2 \times 2$。

• 在实际计算机底层运算时（比如图形学引擎或算法库），通常会通过矩阵变换，把它变成一个“上三角矩阵”（对角线左下角全为0的矩阵），然后直接把主对角线上的所有数字乘起来，这就是它的行列式。这样运算效率高得多。

代数余子式(Cofactor), 伴随矩阵(Adjoint of a Matrix)

符号上，我们定义 $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$

• $A_{ij}$：划掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的“小矩阵”。

• $(-1)^{i+j}$：用来决定正负号。如果行号+列号是偶数就是正（$+$），奇数就是负（$-$）。这就是为什么我们之前展开第一行时，符号是“$+ - +$”。

我们把算出来的每一个 $C_{ij}$，都原封不动地放到它对应的第 i 行第 j 列的位置上，我们就得到了矩阵 A 的代数余子式矩阵 $C_A$

再将其转置即得到伴随矩阵 $A^*$。

公式表达为：

$A^* = (C_A)^T$

逆矩阵(Matrix Inverses)

逆矩阵是为了弥补矩阵除法的空缺

符号表示，我们将$M^{-1}$称作矩阵 $M$ 的逆矩阵。

1. 只有方阵才有逆矩阵
2. 不是所有矩阵都存在逆矩阵，有逆矩阵的叫作可逆矩阵 (Invertible)，没有逆矩阵的叫作奇异矩阵 (Singular)
3. 如果一个矩阵有逆矩阵，那这个逆矩阵是唯一的，不可能有两个
4. 一个矩阵乘以它的逆矩阵，结果是一个单位矩阵，即$M M^{-1} = M^{-1} M = I$

在实际应用中，设有$p$ 是某个物体自身的局部坐标，$M$ 是把这个物体摆放到世界地图上的变换过程（比如移动、旋转）。算出来的 $p'$ 就是这个物体在世界大地图上的最终绝对坐标（$p' = pM$）

如果这时候有一个技能砸中了世界坐标 $p'$，服务端想要知道这个技能砸中了该物体局部模型里的哪个位置（求 $p$）？你就可以拿世界坐标 $p'$ 乘以 $M$ 的逆矩阵（$M^{-1}$），就能瞬间“倒推”回局部坐标！逆矩阵本质上就是一种“时光倒流”的操作。 $p' M^{-1} = p M M^{-1}$ $p' M^{-1} = p I$ $p' M^{-1} = p$ 泛化有： $A^{-1} = \frac{1}{\det A} A^*$ 为什么有些矩阵没有逆？如果一个矩阵的行列式算出来是 0（$\det A = 0$），在公式里它就变成了分母

$2 \times 2$ 矩阵 求逆

假设有一个矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

• 第一步：主对角线换位置（$a$ 和 $d$ 互换）。

• 第二步：副对角线加负号（$b$ 变成 $-b$，$c$ 变成 $-c$）。

• 第三步：全员除以行列式（除以 $ad - bc$）。

最后得出的终极公式就是：

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 矩阵运算的顺序极为重要 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

在游戏逻辑里，如果一个物体先被放大 (Scale)，再被旋转 (Rotate)，最后被平移 (Translate)。当你要反向推导它的初始状态时，就必须严格按照反向平移 $\to$ 反向旋转 $\to$ 反向缩放的顺序来做乘法

总结

1. 矩阵基础定义与标量运算

• 定义：一个 $m \times n$ 的矩阵是一个包含 m 行、n 列实数的矩形阵列。

• 相等条件：两个矩阵维度相同，且对应位置的元素完全一致。

• 加法：相同维度的矩阵相加，即对应位置的元素相加。

• 标量乘法：一个常数（标量）乘以矩阵，即将该标量与矩阵内的每一个元素分别相乘。

2. 矩阵乘法 (Matrix Multiplication)

• 维度要求：矩阵 A ($m \times n$) 乘以矩阵 B ($n \times p$)，结果是一个新矩阵 C ($m \times p$)。即前者的列数必须等于后者的行数。

• 计算规则：结果矩阵 C 中第 i 行、第 j 列的元素 $C_{ij}$，等于矩阵 A 的第 i 行向量与矩阵 B 的第 j 列向量的点积 (Dot Product)。

• 交换律：不满足。通常情况下 $AB \neq BA$。

• 结合律：满足。即 $(AB)C = A(BC)$。

3. 核心矩阵形态与属性

• 转置矩阵 (Transpose, 记作 $M^T$)：

  • 将原矩阵的行和列互换。

  • 一个 $m \times n$ 矩阵的转置会变成 $n \times m$ 矩阵。

• 单位矩阵 (Identity Matrix, 记作 $I$)：

  • 必须是方阵。

  • 主对角线上的元素全为 1，其余所有元素全为 0。

• 行列式 (Determinant, 记作 $\det A$)：

  • 输入是一个方阵，输出是一个实数。

  • 判断可逆性的金标准：方阵 A 可逆当且仅当 $\det A \neq 0$。

4. 逆矩阵 (Inverse Matrix, 记作 $M^{-1}$)

• 核心性质：矩阵乘以其逆矩阵等于单位矩阵，即 $MM^{-1} = M^{-1}M = I$。

• 存在性与唯一性：只有方阵才有逆矩阵（且并非所有方阵都有）。如果存在，逆矩阵是唯一的。

• 计算公式：

  $A^{-1} = \frac{1}{\det A} A^*$

  _(注：$A^{*}$ 为伴随矩阵，即代数余子式矩阵的转置)

5. DirectX Math 代码级实现规范

在 3D 游戏引擎底层，为了压榨 CPU 性能，矩阵运算有严格的数据结构规范：

• 运算类型 (XMMATRIX)：

  • 用于高效描述 $4 \times 4$ 矩阵。

  • 利用 CPU 的 SIMD (单指令多数据流) 寄存器进行硬件加速。

  • 内置了对加减法、矩阵乘法、标量乘法的运算符重载。

• 存储类型 (XMFLOAT4X4)：

  • 专门用于类 (class) 的数据成员存储。

• 类型转换：

  • 加载到寄存器运算：XMLoadFloat4x4

  • 运算完存回内存：XMStoreFloat4x4

• 核心 API 函数库：

1
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixIdentity();                               // 生成单位矩阵
2
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixMultiply(FXMMATRIX A, CXMMATRIX B);       // 矩阵乘法
3
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranspose(FXMMATRIX M);                   // 求转置
4
XMVECTOR XM_CALLCONV XMMatrixDeterminant(FXMMATRIX M);                 // 求行列式
5
XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixInverse(XMVECTOR* pDeterminant, FXMMATRIX M); // 求逆矩阵